4.3 Serie de potencias

En matemáticas, una serie de potencias es una serie de la forma:

alrededor de x=c, en el cual el centro es c, y los coeficientes  son los términos de una sucesión y que usualmente corresponde con la serie de Taylor de alguna función conocida.

En ocasiones, el centro c de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina serie de Maclaurin y toma la forma simple

Ejemplo:

Hallar los 5 primeros términos del desarrollo en serie de Maclaurin de la función f(x) = sen x.

Solución

Paso 1

Primero se hallan las derivadas:

-Derivada de orden 0: es la misma función f(x) = sen x

-Primera derivada: (sen x)´ = cos x

-Segunda derivada: (sen x)´´ = (cos x)´ = – sen x

-Tercera derivada: (sen x)´´´ = (-sen x)´ = – cos x

-Cuarta derivada: (sen x)´´´´ = (- cos x)´ = sen x

Paso 2

Luego se evalúa cada derivada en x = c, como es un desarrollo de Maclaurin, c = 0:

sen 0 = 0 ; cos 0 = 1; – sen 0 = 0; -cos 0 = -1; sen 0 = 0

Paso 3

Se construyen los coeficientes an;

ao = 0 / 0! = 0; a1 = 1 / 1! = 1 ; a2 = 0 / 2! = 0; a3 = -1 / 3!; a4 = 0 / 4! = 0

Paso 4

Finalmente se arma la serie según:

sen x ≈ 0.x0 + 1. x1 + 0 .x2 – (1/3!)x3 + 0.x4… = x – (1/3!))x3  + …

¿El lector necesita más términos? Cuántos más, la serie se acerca más a la función.

Nótese que hay un patrón en los coeficientes, el siguiente término no nulo es a5 y todos los de índice impar también son diferentes de 0, alternando los signos, de manera que:

sen x ≈  x – (1/3!))x3  + (1/5!))x5 – (1/7!))x7  + ….

Se deja como ejercicio comprobar que converge, se puede usar el criterio del cociente para la convergencia de series.

Si aun tienes dudas puedes consultar el siguiente vídeo: https://youtu.be/sgztYrIgug4

Fuente: https://es.m.wikipedia.org/wiki/Serie_de_potencias y https://www.google.com/amp/s/www.lifeder.com/serie-de-potencias/amp/

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