4.4 Radio de convergencia

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma
recibe el nombre de serie de potencias centrada en x_{0}. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que {\displaystyle |x-x_{0}|<r}, donde r es un número real radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo {\displaystyle (x_{0}-r,} {\displaystyle x_{0}+r)}, ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x_{0}, {\displaystyle r=0}. Si lo hace para cualquier valor de x, {\displaystyle r=} \infty \,\!.

Ejemplo

Radio de convergencia finitoEditar

La función {\displaystyle 1/(1-x)} en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencias {\displaystyle x-x_{0}=x-0=x}, tiene el siguiente aspecto:

{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots }

(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es {\displaystyle r=1}. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al {\displaystyle x_{0}=0} es menor que {\displaystyle r=1}, por ejemplo el {\displaystyle x=0.25}, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }0.25^{n}=1+0.25+0.25^{2}+0.25^{3}+\ldots ={\frac {4}{3}}}.

(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

{\displaystyle {\frac {1}{1-0.25}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}}.

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el {\displaystyle x=2}, al remplazarlo en la serie, esta será divergente (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots =\infty }

Si aun tienes dudas, puedes ver este vídeo: https://youtu.be/epSNxk88dSA

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