4.4 Radio de convergencia

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma

recibe el nombre de serie de potencias centrada en ${\displaystyle x_{0}}$. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de ${\displaystyle x}$ que verifica que ${\displaystyle |x-x_{0}|<r}$, donde r es un número real radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de ${\displaystyle x}$ pertenecientes al intervalo ${\displaystyle (x_{0}-r,}$ ${\displaystyle x_{0}+r)}$, ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle r=0}$. Si lo hace para cualquier valor de ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle r=}$ ${\displaystyle \infty \,\!}$.

Ejemplo

Radio de convergencia finitoEditar

La función ${\displaystyle 1/(1-x)}$ en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencias ${\displaystyle x-x_{0}=x-0=x}$, tiene el siguiente aspecto:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots }$

(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es ${\displaystyle r=1}$. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al ${\displaystyle x_{0}=0}$ es menor que ${\displaystyle r=1}$, por ejemplo el ${\displaystyle x=0.25}$, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }0.25^{n}=1+0.25+0.25^{2}+0.25^{3}+\ldots ={\frac {4}{3}}}$.

(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

${\displaystyle {\frac {1}{1-0.25}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}}$.

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el ${\displaystyle x=2}$, al remplazarlo en la serie, esta será divergente (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots =\infty }$

Si aun tienes dudas, puedes ver este vídeo: https://youtu.be/epSNxk88dSA

Fuente: https://es.m.wikipedia.org/wiki/Radio_de_convergencia