Calculo Integral

En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r). Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes: La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproxim...

En  matemáticas , una  serie de Taylor  es una aproximación de  funciones  mediante una  serie de potencias  o suma de potencias enteras de polinomios como  {\displaystyle (x-a)^{n}}  llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las  derivadas  de la función para un determinado valor o punto  {\displaystyle a}  suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero,  {\displaystyle a=0} , se le denomina también  serie de Maclaurin . Ejemplo: Si aun tienes dudas, puedes consultar el siguiente vídeo:  https://youtu.be/vqbEIApe30o Fuentes: https://es.m.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor y  https://es.scribd.com/doc/102297219/Series-de-Taylor-Ejemplos-y-Problemas

Si nos limitamos al conjunto de los  números reales , una serie de la forma recibe el nombre de  serie de potencias  centrada en  {\displaystyle x_{0}} . La serie  converge absolutamente  para un conjunto de valores de  {\displaystyle x}  que verifica que  {\displaystyle |x-x_{0}|<r} , donde  r  es un número real  radio de convergencia  de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de  {\displaystyle x}  pertenecientes al intervalo  {\displaystyle (x_{0}-r,}   {\displaystyle x_{0}+r)} , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para  {\displaystyle x_{0}} ,  {\displaystyle r=0} . Si lo hace para cualquier valor de  {\displaystyle x} ,  {\displaystyle r=}   {\displaystyle \infty \,\!} . Ejemplo Radio de convergencia fini...

En  matemáticas , una  serie de  potencias  es una serie de la forma: alrededor  de  x = c , en el cual el centro es  c , y los coeficientes  {\displaystyle a_{n}}  son los términos de una sucesión y que usualmente corresponde con la  serie de Taylor  de alguna  función  conocida. En ocasiones, el centro  c  de la serie es igual a cero, con lo que la serie se denomina  serie de Maclaurin  y toma la forma simple Ejemplo: Hallar los 5 primeros términos del desarrollo en serie de Maclaurin de la función f(x) = sen x. Solución Paso 1 Primero se hallan las derivadas: -Derivada de orden 0: es la misma función f(x) = sen x -Primera derivada: (sen x)´ = cos x -Segunda derivada: (sen x)´´ = (cos x)´ = – sen x -Tercera derivada: (sen x)´´´ = (-sen x)´ = – cos x -Cuarta derivada: (sen x)´´´´ = (- cos x)´ = sen x Paso 2 Luego se evalúa cada derivada en x = c, como es un desarrollo de Maclaurin, c = 0: sen 0 = 0 ; c...